Question

10．已知a、b为正整数．设两直线1₁：y=b-$\frac{b}{a}$x与1₂：y=$\frac{b}{a}$x的交点为P₁（x₁，y₁），且对于n≥2的自然数，两点（0，b），（x_n-1，0）的连线与直线y=$\frac{b}{a}$x的交点为P_n（x_n，y_n）
（1）求P₁，P₂的坐标；
（2）猜想P_n的坐标公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）联立直线1₁：y=b-$\frac{b}{a}$x与1₂：y=$\frac{b}{a}$x，求出交点坐标，再求出过（0，b），（$\frac{a}{2}$，0）两点的直线方程，联立方程组求出P₂的坐标；
（2）当n=2时，由（1）知成立，然后假设n=k时，P_k（$\frac{a}{k+1}，\frac{b}{k+1}$），求出过（0，b）、（$\frac{a}{k+1}$，0）的直线方程为$\frac{k+1}{a}x+\frac{y}{b}=1$，与y=$\frac{b}{a}x$联立求得P_k+1满足P_n的坐标形式得答案．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=b-\frac{b}{a}x}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}}\\{y=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，
∴P₁（$\frac{a}{2}，\frac{b}{2}$），过（0，b），（$\frac{a}{2}$，0）两点的直线方程为$\frac{2x}{a}+\frac{y}{b}=1$，与y=$\frac{b}{a}$x联立得P₂（$\frac{a}{3}，\frac{b}{3}$）；
（2）猜想P_n（$\frac{a}{n+1}，\frac{b}{n+1}$）．
下面用数学归纳法证明：当n=2时，已得结论成立．
假设n=k时，P_k（$\frac{a}{k+1}，\frac{b}{k+1}$），过（0，b）、（$\frac{a}{k+1}$，0）的直线方程为$\frac{k+1}{a}x+\frac{y}{b}=1$，与y=$\frac{b}{a}x$联立得，
P_k+1（$\frac{a}{k+2}，\frac{b}{k+2}$），即n=k+1时，猜想成立．
综上，P_n（$\frac{a}{n+1}，\frac{b}{n+1}$）．

点评 本题考查两直线交点坐标的求法，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．