Question

已知二阶矩阵M=

1?b c?1

，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）．求矩阵M将圆x²+y²=1变换后的曲线方程．

Answer 1

分析：先根据矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1），建立二元一次方程组求出矩阵M，然后建立点圆x²+y²=1上的任意一点P（x，y），变换后的点为P'（x'，y'）的关系，将点P（x，y）的坐标代入圆的方程即可求出．

解答：解：由已知得M

2 1

=

4 -1

，即

1 b c 1

2 1

=

4 -1

∴

2+b=4 2c+1=-1

，解得

b=2 c=-1

∴M=

1 2 -1 1

设点P（x，y）是圆x²+y²=1上的任意一点，变换后的点为P'（x'，y'）
则M

x y

=

x′ y′

，
所以

x′=x+2y y′=-x+y

从而

x= 1 3 (x′-2y′) y= 1 3 (x′+y′)

代入x²+y²=1得（x'-2y'）²+（x'+y'）²=9
化简得2x²-2xy+5y²-9=0

点评：本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．