题目内容
【题目】设.
(1)讨论在
上的单调性;
(2)令,试证明
在
上有且仅有三个零点.
【答案】(1)的单调递增区间是
,递减区间是
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)首先求导得到,再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.
(2)首先根据,
得到
是
的一个零点,再根据
是偶函数得到
在
上的零点个数,只需确定
时,
的零点个数即可,再求出
在
时的单调性和最值,确定其零点个数即可.
,
令,则
或
.
时,
,
单调递增,
时
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
时,
,
单调递减.
的单调递增区间是
,
递减区间是.
(2),
因为,所以
是
的一个零点.
所以是偶函数,
即要确定在
上的零点个数,需确定
时,
的零点个数即可.
①当时,
令,即
或
.
时,
单调递减,
且,
时,
,
单调递增,
且
在
有唯一零点
②当时,由于
,
.
而在
单调递增,
所以恒成立,故
在
无零点,
所以在
有一个零点,
由于是偶函数,所以
在
有一个零点,而
,
综上在
有且仅有三个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为五个等级.某班共有
名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如表所示.该班学生中,这两科等级均为
的学生有
人,这两科中仅有一科等级为
的学生,其另外一科等级为
.则该班( )
等级 科目 | A | B | C | D | E |
物理 | 10 | 16 | 9 | 1 | 0 |
化学 | 8 | 19 | 7 | 2 | 0 |
A.物理化学等级都是的学生至多有
人
B.物理化学等级都是的学生至少有
人
C.这两科只有一科等级为且最高等级为
的学生至多有
人
D.这两科只有一科等级为且最高等级为
的学生至少有
人
【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下
列联表:
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
(2)在上述样本中从分数不少于120分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.
(下面的临界值表供参考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式 其中
)