Question

一个特殊模具容器横断面如图所示：内壁是抛物线y=

1

2

x2的一部分，外壁是等腰梯形ABEF的两腰AF、BE及底AB围成．已知EF=8厘米，AB=3厘米，点O到EF的距离是8厘米，BE所在直线与抛物线y=

1

2

x2相切于点E．
（Ⅰ）求切线BE的方程和容器的高h；
（Ⅱ）求这个容器横断面的面积（阴影部分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求切线BE方程，只需求出切点E的坐标和切线斜率，因为EF=8厘米，所以可求E点的横坐标，代入抛物线方程就可求出E点的纵坐标，再根据切线的斜率是曲线在切点处的导数，通过求导，就可求出切线BE的斜率，得到BE的方程．
容器的高h等于直线AB与直线EF之间的距离，也即点B与点F的纵坐标之差的绝对值，由前面已知E点坐标，因为AB=3厘米，所以B点横坐标为

3

2

，又因为B点在直线BE上，代入直线BE方程，就可得到B点纵坐标，求出容器的高h．
（Ⅱ）有图知这个容器横断面的面积为梯形ABEF的面积，减去直线EF与抛物线y=

1

2

x2所围曲边梯形的面积，由（Ⅰ）可知梯形的上下底长和高，易求面积，而曲边梯形的面积即为函数y=8-

1

2

x2在区间[-4，4]的定积分，所以阴影面积可求．

解答：解：（Ⅰ）∵EF=8，且EF关于y轴对称，∴点E的横坐标为4，
又∵点E在抛物线y=

1

2

x2上，∴点E的纵坐标是y_E=8即E（4，8）
函数y=

1

2

x2的导数为y′=x
∵直线BE与抛物线y=

1

2

x2相切，E为切点，
∴直线BE的斜率k=y'|_x=4=4
∴直线BE的方程是y-8=4（x-4）即y=4x-8
∵AB=3，且AB关于y轴对称，∴B的横坐标是xB=

3

2

，
又点B在直线y=4x-8上
∴点B的纵坐标是yB=4×

3

2

-8=-2
∴h=y_E-y_B=8-（-2）=10
即容器的高为10厘米   
（Ⅱ）∵EF=8，E点的横坐标为4，∴F点的横坐标为-4．
S_梯形ABEF=

(AB+EF)•h

2

=

(3+8)×10

2

=55
∵直线EF方程为y=8，
∴抛物线y=

1

2

x2与直线EF所围曲边图形面积S₀=∫_-4⁴（8-

1

2

x2）dx=（8x-

1

6

x3）|_-4⁴=

128

3

∴容器横断面的面积S=S_梯形ABEF-S₀=55-

128

3

=

37

3

∴这个容器横断面的面积

37

3

平方厘米

点评：本题主要考查了导数的几何意义，函数在某点处的切线方程的求法，定积分的几何意义，微积分基本定理及其应用