Question

如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k（k＞0）．
（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于θ函数f（θ）；
（Ⅱ）求当θ多大时，水槽的最大流量最大．

Answer 1

分析：（1）设水槽的截面面积为S，则S=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a²sinθ（1+cosθ），由此能将水槽的最大流量表示成关于θ函数f（θ）．
（2）因为f'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），令f'（θ）=0，则2cos²θ+cosθ-1=0，解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1．由此能求出当θ=

π

3

时，水槽的流量最大．

解答：解：（1）设水槽的截面面积为S，
则S=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a²sinθ（1+cosθ）
则f（θ）=kS=a²ksinθ（1+cosθ），θ∈(0，

π

2

)．
（2）因为f'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），
令f'（θ）=0，
则2cos²θ+cosθ-1=0，
解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1．
由于0＜θ＜

π

2

，
得cosθ≠-1，
所以cosθ=

1

2

，
此时θ=

π

3

因为0＜θ＜

π

3

时，
f'（θ）＞0；

π

3

＜θ＜

π

2

时，
f'（θ）＜0；
所以，当θ=

π

3

时，水槽的流量最大．

点评：本题考查函数问题的实际应用，解题时要认真审题，寻找数量间的等量关系，合理地建立函数关系进行求解．