题目内容
（2012•广州一模）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△OAB为等腰三角形．（简要说明理由，不必求出这些点的坐标）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△OAB为等腰三角形．（简要说明理由，不必求出这些点的坐标）
分析：（1）根据椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为3，确定a，c，利用b2=a2-c2，求出b2，从而可以求椭圆C的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，确定A的坐标，进而分类讨论，探究椭圆C上存在的点B，使△OAB为等腰三角形．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（2）直线方程与椭圆方程联立，确定A的坐标，进而分类讨论，探究椭圆C上存在的点B，使△OAB为等腰三角形．
解答：解：（1）由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3…（1分），
因为e=
=
…（2分），所以c=
…（3分），
所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），
所以椭圆C的方程为：
+
=1…（5分）
（2）直线方程与椭圆方程联立
（x＞0），解得x=y=
，即A(
，
)…（6分）
以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…（8分），
以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个（9分），此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…（10分），
以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个（11分），此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…（12分）．
因为直线y=x倾斜角为
，所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形…（13分），
即以上6个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形…（14分）．
因为e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
| 6 |
所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），
所以椭圆C的方程为：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 3 |
（2）直线方程与椭圆方程联立
|
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…（8分），
以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个（9分），此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…（10分），
以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个（11分），此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…（12分）．
因为直线y=x倾斜角为
| π |
| 4 |
即以上6个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形…（14分）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查学生的探究能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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