题目内容

(2012•广州一模)设函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),gn(x)=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
(n∈N*).
(1)证明:f(x)≥g1(x);
(2)当x>0时,比较f(x)与gn(x)的大小,并说明理由;
(3)证明:1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)ngn(1)<e
(n∈N*).
分析:(1)设φ1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1,可得函数φ1(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,在x=0处取得唯一极小值,从而可得对任意实数x均有 φ1(x)≥φ1(0)=0,即可得到结论;
(2)当x>0时,f(x)>gn(x),用数学归纳法证明,第2步证明的关键是证明φk+1(x)=f(x)-gk+1(x)在(0,+∞)上为增函数;
(3)先证对任意正整数n,gn(1)<e,再证对任意正整数n,1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)ngn(1)
=1+1+
1
2!
+
1
3!
+…+
1
n!
,利用分析法、再利用数学归纳法和基本不等式法可以证明结论.
解答:(1)证明:设φ1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1
所以φ1(x)=ex-1.…(1分)
当x<0时,φ1(x)<0,当x=0时,φ1(x)=0,当x>0时,φ1(x)>0
即函数φ1(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,在x=0处取得唯一极小值,…(2分)
因为φ1(0)=0,所以对任意实数x均有 φ1(x)≥φ1(0)=0.
即f(x)-g1(x)≥0,
所以f(x)≥g1(x).…(3分)
(2)解:当x>0时,f(x)>gn(x).…(4分)
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,由(1)知f(x)>g1(x).
②假设当n=k(k∈N*)时,对任意x>0均有f(x)>gk(x),…(5分)
令φk(x)=f(x)-gk(x),φk+1(x)=f(x)-gk+1(x),
因为对任意的正实数x,φk+1(x)=f′(x)-gk+1(x)=f(x)-gk(x)
由归纳假设知,φk+1(x)=f(x)-gk(x)>0.…(6分)
即φk+1(x)=f(x)-gk+1(x)在(0,+∞)上为增函数,亦即φk+1(x)>φk+1(0),
因为φk+1(0)=0,所以φk+1(x)>0.
从而对任意x>0,有f(x)-gk+1(x)>0.
即对任意x>0,有f(x)>gk+1(x).
这就是说,当n=k+1时,对任意x>0,也有f(x)>gk+1(x).
由①、②知,当x>0时,都有f(x)>gn(x).…(8分)
(3)证明:先证对任意正整数n,gn(1)<e.
由(2)知,当x>0时,对任意正整数n,都有f(x)>gn(x).
令x=1,得gn(1)<f(1)=e.
所以gn(1)<e.…(9分)
再证对任意正整数n,1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)ngn(1)
=1+1+
1
2!
+
1
3!
+…+
1
n!

要证明上式,只需证明对任意正整数n,不等式(
2
n+1
)n
1
n!
成立.
即要证明对任意正整数n,不等式n!≤(
n+1
2
)n
(*)成立.…(10分)
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*):
方法1(数学归纳法):
①当n=1时,1!≤(
1+1
2
)1
成立,所以不等式(*)成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,不等式(*)成立,
k!≤(
k+1
2
)k
.…(11分)
(k+1)!=(k+1)k!≤(k+1)(
k+1
2
)k=2(
k+1
2
)k+1

因为
(
k+2
2
)
k+1
(
k+1
2
)
k+1
=(
k+2
k+1
)k+1=(1+
1
k+1
)k+1=
C
0
k+1
+
C
1
k+1
1
k+1
+…+
C
k+1
k+1
(
1
k+1
)k+1≥2
,…(12分)
所以(k+1)!≤2(
k+1
2
)k+1≤(
k+2
2
)k+1
.…(13分)
这说明当n=k+1时,不等式(*)也成立.
由①、②知,对任意正整数n,不等式(*)都成立.
综上可知,对任意正整数n,不等式1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)ngn(1)<e
成立.
…(14分)
方法2(基本不等式法):
因为
n•1
n+1
2
,…(11分)
(n-1)•2
n+1
2

…,
1•n
n+1
2

将以上n个不等式相乘,得n!≤(
n+1
2
)n
.…(13分)
所以对任意正整数n,不等式(*)都成立.
综上可知,对任意正整数n,不等式1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)ngn(1)<e
成立.
…(14分)
点评:本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力.
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