题目内容

（2012•广州一模）已知
e1
=(
3
，-1)，
e2
=(
1
2
，
3
2
)，若
a
=
e1
+(t2-3)•
e2
，
b
=-k•
e1
+t•
e2
，若
a
⊥
b
，则实数k和t满足的一个关系式是
t3-3t-4k=0
t3-3t-4k=0
，
k+t2
t
的最小值为
-
7
4
-
7
4
．
分析：利用题设条件，先求出向量
a
和
b
，再由
a
⊥
b
，利用
a
•
b
=0，得到实数k和t满足的一个关系式；由t3-3t-4k=0，得到k=
t3-3t
4
，代入
k+t2
t
，得到以t为自变量的二次函数，利用配方法能求出
k+t2
t
的最小值．
解答：解：∵
e1
=(
3
，-1)，
e2
=(
1
2
，
3
2
)，
∴若
a
=
e1
+(t2-3)•
e2
=（
3
，-1）+（
1
2
t2-
3
2
，
3
2
t2-
3
3
2
）=（
1
2
t2-
3
2
+
3
，
3
2
t2-
3
3
2
-1），
b
=-k•
e1
+t•
e2
=(-
3
k，k)+（
1
2
t，
3
2
t）=（
1
2
t-
3
k，
3
2
t+k），
∵
a
⊥
b
，
∴
a
•
b
=（
1
2
t2-
3
2
+
3
）•（
1
2
t-
3
k）+（
3
2
t2-
3
3
2
-1）•（
3
2
t+k）
=
1
4
t3-
3
4
t+
3
2
t-
3
2
kt2+
3
3
2
k-3k+
3
4
t3-
9
4
t-
3
2
t+
3
2
kt2-
3
3
2
k-k
=t3-3t-4k=0，
∵t3-3t-4k=0，
∴k=
t3-3t
4
，
∴
k+t2
t
=
t3-3t
4
+t2
t
=
1
4
t2+t-
3
4
=
1
4
(t+2)2-
7
4
，
∴
k+t2
t
的最小值为-
7
4
．
故答案为：t3-3t-4k=0，-
7
4
．
点评：本题考查利用数量积判断两个向量垂直关系的应用，计算繁琐，解题时要认真审题，仔细解答，注意换无法和配方法的灵活运用．
练习册系列答案
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x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
（n∈N*）．
（1）证明：f（x）≥g1（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与gn（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)n≤gn(1)＜e（n∈N*）．
（2012•广州一模）已知平面向量
a
=(1，3)，
b
=(-3，x)，且
a
∥
b
，则
a
•
b
=（　　）

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