题目内容

给出下列几个命题：
①|
a
|=|
b
|是
a
=
b
的必要不充分条件；
②若A、B、C、D是不共线的四点，则
AB
=
DC
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若
a
•
b
=
a
•
c
则
b
=
c

④
a
=
b
的充要条件是
a
∥
b
|
a
|=|
b
|
；
⑤若
i
，
j
为互相垂直的单位向量，
a
=
i
-2
j
，
b
=
i
+λ
j
，则
a
，
b
的夹角为锐角的充要条件是λ∈(-∞，
1
2
)
其中，正确命题的序号是
①②
①②
．
分析：①由
a
=
b
包含|
a
|=|
b
|和方向相同，可以得出命题正误；
②由
AB
=
DC
可以得出四边形ABCD为平行四边形，由四边形ABCD是平行四边形，可以得出
AB
=
DC
；
③
a
•
b
=
a
•
c
不能得出
b
=
c
，消去律不成立；
④
a
=
b
包含模相等和方向相同；
⑤
a
，
b
的夹角为锐角的充要条件是
a
•
b
＞0且方向不相同，解得λ的取值范围．
解答：解：①∵
a
=
b
⇒|
a
|=|
b
|，但是|
a
|=|
b
|⇒
a
=
b
不成立，∴命题正确；
②∵A、B、C、D四点不共线，由
AB
=
DC
得
AB
∥
DC
且|
AB
|=|
DC
|，∴四边形ABCD为平行四边形；
若四边形ABCD为平行四边形，则
AB
∥
DC
且|
AB
|=|
DC
|，且方向相同，∴
AB
=
DC
，命题正确；
③当
a
=
0
或垂直时，
a
•
b
=
a
•
c
不能得出
b
=
c
，命题错误；
④
a
=
b
的充要条件是
a
∥
b
|
a
|=|
b
|
并且方向相同，∴命题错误；
⑤若
i
，
j
为互相垂直的单位向量，
a
=
i
-2
j
，
b
=
i
+λ
j
，则
a
，
b
的夹角为锐角的充要条件是
a
•
b
＞0，即1-2λ＞0，∴λ＜
1
2
，又λ=-2时，
a
与
b
同向，夹角为0，∴λ∈（-∞，-2）∪（-2，
1
2
），∴命题错误；
故答案为：①②
点评：本题通过命题真假的判定，考查了平面向量知识的综合应用，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出下列几个命题：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若函数f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；
④设函数y=
1-x
+
x+3
的最大值和最小值分别为M和m，则M=
2
m；
⑤若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是
①④⑤
①④⑤
．（写出所有正确命题的序号）
（2012•安徽模拟）设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin2x的定义域是[
π
4
，
11
24
π]，f(
π
4
)=
3
．给出下列几个命题：
①f（x）在x=
π
4
处取得小值；
②[
5
12
π，
11
24
π]是f（x）的一个单调递减区间；
③f（x）的最大值为2；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个x=
π
3
．
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（将你认为正确命题的序号都填上）
给出下列几个命题：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若函数f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；
④设函数的最大值和最小值分别为M和m，则；
⑤若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是    ．（写出所有正确命题的序号）
设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列几个命题：

①若m，n是异面直线，mα，m∥β，nβ，n∥α，则α∥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β；

④符m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．

其中正确命题的个数为(    )

A．1个                B．2个               C．3个               D．4个

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