Question

如图，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆O与双曲线交于A、B、C、D四点，若AB交y轴于点H，圆O与y轴正半轴相交于点P，且

OH

=（3+2

3

）

HP

．
（1）若双曲线的焦距为2，求双曲线的方程；
（2）求双曲线的离心率．

Answer 1

分析：（1）由|F₁F₂|=2可求得P（0，1），设H（0，m），由

OH

=（3+2

3

）

HP

可求得m，从而可求得A点的坐标，代入双曲线方程，得到a，b的关系式，与a²+b²=1联立即可求得双曲线的方程；
（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n），同理可求得（

b

a

）²=3+2

3

?

a2+b2

a2

=

c2

a2

=e²=4+2

3

，从而可得双曲线的离心率．

解答：解：（1）由|F₁F₂|=2得圆O的半径为1，故P（0，1），设H（0，m）．
∵

OH

=（3+2

3

）

HP

=（3+2

3

）（0，1-m），
∴m=（3+2

3

）（1-m），解得m=

3

2

，
故A（x，

3

2

），由|OA|=1得x=

1

2

，
∴A（

1

2

，

3

2

）．
∵点A（

1

2

，

3

2

）在双曲线上，
∴

1

4a2

-

3

4b2

=1，
又∵焦距为2，
∴a²+b²=1，解得a²=1-

3

2

，b²=

3

2

，
故双曲线的方程为

x2

1- 3 2

-

y2

3 2

=1．
（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n）．
∵

OH

=（3+2

3

）

HP

=（3+2

3

）（0，c-n），
∴n=（3+2

3

）（c-n），解得n=

3

2

c，
即H（0，

3

2

c）．
由A（x₀，

3

2

c）在圆上得x₀=

1

2

c，
∴A（

1

2

c，

3

2

c），
∴将A（

1

2

c，

3

2

c）代入双曲线方程得

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，
又∵a²+b²=c²，化简得3a⁴+6a²b²-b⁴=0，
即（

b

a

）⁴-6（

b

a

）²-3=0，
∴（

b

a

）²=3+2

3

，
∴e²=

c2

a2

=1+

b2

a2

=4+2

3

，
故双曲线的离心率为e=

3

+1．

点评：本题考查双曲线的标准方程与离心率，考查向量的坐标运算，考查方程思想与综合分析与运算能力，属于难题．