题目内容
已知函数y=x+
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+
和y=x2+
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．
| a |
| x |
| a |
| a |
（1）如果函数y=x+
| 2b |
| x |
（2）研究函数y=x2+
| c |
| x2 |
（3）对函数y=x+
| a |
| x |
| a |
| x2 |
分析：（1）由函数y=x+
性质可得y=x+
的最小值，令其为6，解出可得b值；
（2）利用定义进行判断：先研究函数在（0，+∞）上的单调性，设0＜x1＜x2，通过作差判断y2与y1的大小，由单调性的定义即可作出判断，再由偶函数的性质可知函数在（-∞，0）的单调性；
（3）可以把函数推广为y=xn+
（常数a＞0），其中n是正整数，当n是奇数时类比y=x+
的情形，当n是偶数时类比y=x2+
的情形，即可得到结论；
| a |
| x |
| 2b |
| x |
（2）利用定义进行判断：先研究函数在（0，+∞）上的单调性，设0＜x1＜x2，通过作差判断y2与y1的大小，由单调性的定义即可作出判断，再由偶函数的性质可知函数在（-∞，0）的单调性；
（3）可以把函数推广为y=xn+
| a |
| xn |
| a |
| x |
| c |
| x2 |
解答：解：（1）由函数y=x+
性质知：
当x=
时，函数y=x+
（x＞0）的最小值是2
，则2
=6，
解得b=log29．
（2）设0＜x1＜x2，
则y2-y1=
+
-
-
=(
-
)(1-
)=
．
当
＜x1＜x2时，y2＞y1，函数y=x2+
在[
，+∞）上是增函数；
当0＜x1＜x2＜
时，y2＜y1，函数y=x2+
在（0，
]上是减函数．
又y=x2+
是偶函数，
所以该函数在（-∞，-
]上是减函数，在[-
，0）上是增函数；
（3）可以把函数推广为y=xn+
（常数a＞0），其中n是正整数．
当n是奇数时，函数y=xn+
在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数，
在（-∞，-
]上是增函数，在[-
，0）上是减函数；
当n是偶数时，函数y=xn+
在（0，
]上是减函数，在[
，+∞） 上是增函数，
在（-∞，-
]上是减函数，在[-
，0）上是增函数．
| a |
| x |
当x=
| 2b |
| 2b |
| x |
| 2b |
| 2b |
解得b=log29．
（2）设0＜x1＜x2，
则y2-y1=
| x | 2 2 |
| c | ||
|
| x | 2 1 |
| c | ||
|
| x | 2 2 |
| x | 2 1 |
| c | ||||
|
| (x2-x1)(x2+x1)(x12x22-c) |
| x12x22 |
当
| 4 | c |
| c |
| x2 |
| 4 | c |
当0＜x1＜x2＜
| 4 | c |
| c |
| x2 |
| 4 | c |
又y=x2+
| c |
| x2 |
所以该函数在（-∞，-
| 4 | c |
| 4 | c |
（3）可以把函数推广为y=xn+
| a |
| xn |
当n是奇数时，函数y=xn+
| a |
| xn |
| 2n | a |
| 2n | a |
在（-∞，-
| 2n | a |
| 2n | a |
当n是偶数时，函数y=xn+
| a |
| xn |
| 2n | a |
| 2n | a |
在（-∞，-
| 2n | a |
| 2n | a |
点评：本题考查函数单调性的判断、证明及归纳推理，定义是判断函数单调性的基本方法，要熟练掌握．
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