Question

（09 年聊城一模理）（12分）

   过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点；依此下去，得到一系列点，，；设它们的横坐标构成数列为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（II）求证：；

（III）当时，令求数列的前项和.

Answer 1

解析：（Ⅰ）对求导数，得，切点是的切线方程是.…2分

当时，切线过点，即，得;

当时，切线过点，即，得.

所以数列是首项，公比为的等比数列，

所以数列的通项公式为.………4分(文………6分)

（II）应用二项式定理，得

（III）当时，数列的前项和=

同乘以，得=两式相减，………10分（文………8分）

得=，

所以=.………12分