Question

【题目】已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）已知点为抛物线内一个定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于点，且分别是的中点，若，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，可以求出，再根据求出即可写出椭圆方程及抛物线方程；（2）设直线AB方程，联立抛物线方程化简，由根与系数的关系易得M的坐标，同理可得N的坐标，写出MN直线方程，可以看出直线过定点.

试题解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦距是，则由题意得：

， ，∴，椭圆的标准方程为： .

∴右顶点的坐标为，设抛物线的标准方程为： ，∴，∴抛物线的标准方程为： .

（2） ，由得

，则，所以，同理

∴，则，即

其恒过定点