Question

（2011•门头沟区一模）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a²=b²+c²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式变形后代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用正弦定理化简已知的等式，把A的度数代入，利用特殊角的三角函数值及完全平方公式化简后，将sinB+sinC=1代入求出sinBsinC的值，与sinB+sinC=1联立，求出sinB和sinC的值，得到sinB=sinC，由A为钝角，得到B和C都为锐角，可得B=C，可得三角形为顶角是钝角的等腰三角形．

解答：解：（1）∵a²=b²+c²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，…（2分）
又A为三角形的内角，
则A=120°；…（6分）
（2）由正弦定理化简已知的等式得：
sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC，…（7分）
把A=120°代入，化简得：

3

4

=（sinB+sinC）²-sinBsinC，
又sinB+sinC=1①，可得sinBsinC=

1

4

②，
联立①②，解得：sinB=sinC=

1

2

，…（10分）
由（1）知A=120°，可得0＜B＜90°，0＜C＜90°，
∴B=C，
则△ABC是顶角是钝角的等腰三角形．           …（12分）

点评：此题考查了解三角形，以及三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦定理，完全平方公式的应用，等腰三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．