Question

【题目】已知函数．

(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；

(2)若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）定义域为(0，＋∞)，f′(x) ，可求得单调区间有望极小值。（2）函数的图像在函数的图像的下方，即f(x)<g(x),变形F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3<0,由导数求。

试题解析：(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f′(x)＝x－

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，

则x＝1是f(x)极小值点，

所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=

(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，

则F′(x)＝x＋－2x2＝，

当x>1时，F′(x)<0，

故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，

又F(1)＝－<0，

∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立

即f(x)<g(x)恒成立.

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．