Question

已知在(x-

1

x

)n的展开式中，奇数项系数和为32，则含

1

x2

项的系数是（　　）

• A、-2
• B、20
• C、-15
• D、15

Answer 1

分析：令二项式中的x分别取1，-1然后两个式子相加，求出奇数项系数和，列出方程求出n的值，将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项求出通项，令通项中的x的指数为-2，求出r的值，将r的值代入通项求出含

1

x2

项的系数．

解答：解：设(x-

1

x

)n=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ
令x=1得0═a₀+a₁+a₂+…+a_n
令x=-1得2ⁿ=a₀-a₁+a₂-a₃…+a_n
两式相加得2^n-1=a₀+a₂+a₄…+a_n
∴2^n-1=32
n-1=5
∴n=6
∴(x-

1

x

)n=(x-

1

x

)6
展开式的通项为T_r+1=（-1）^rC₆^rx^6-2r
令6-2r=-2得r=4
∴展开式含

1

x2

项的系数是C₆⁴=15
故选D

点评：求二项展开式的系数和问题，一般通过观察先给二项式中的x赋值；求二项展开式的特定项问题，利用的工具是二项展开式的通项公式．