Question

如图，已知抛物线x²＝4y与圆x²＋y²＝32相交于A、B两点，圆与y轴正半轴交于C点，直线l是圆的切线，交抛物线于M、N，并且切点在上，

(1)求A、B、C点的坐标；

(2)当M、N两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由解得A(－4，4)，B(4，4)， 　　由解得C(0，)． 　　(2)设直线l：y＝kx＋b，且l与抛物线交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，焦点为F． 　　由抛物线定义知d＝|MF|＋|NF|＝y1＋y2＋2， 　　由得y2－2(b＋2k2)y＋b2＝0， 　　则y1＋y2＝2(b＋2k2)， 　　又∵l与圆相切于， 　　∴，即k2＝－1． 　　由图形知l过C点时，b最小为，当l过A或B时，b最大为8，即≤b≤8， 　　∴d＝(b＋8)2－10． 　　∴当b＝8时，d取最大值，此时k＝±1． 　　∴所求直线l的方程为y＝x＋8或y＝－x＋8．

提示：

列方程组求解A、B、C的坐标，设出l的方程，利用抛物线定义转化条件．由l的方程与抛物线方程组成方程组，找出k与b的关系，再利用二次函数求其最值．