Question

如图，已知抛物线x²=4y，过抛物线上一点A（x₁，y₁）（不同于顶点）作抛物线的切线l，并交x轴于点C，在直线y=-1上任取一点H，过H作HD垂直x轴于D，并交l于点E，过H作直线HF垂直直线l，并交x轴于点F．
（I）求证：|OC|=|DF|；
（II）试判断直线EF与抛物线的位置关系并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用导数的几何意义，求出过抛物线上一点A（x₁，y₁）（不同于顶点）作抛物线的切线l的方程，令y=0即可得C点的坐标，再由HF垂直直线l，写出直线HF的方程，令y=0即可得F点的坐标，从而可证|OC|=|DF|
（II）先求出E点的坐标，由（I）知F的坐标，从而写出直线EF的方程，再与抛物线x²=4y联立，证明△=0，即可证明直线EF与抛物线的位置关系为相切
解答：解：（I）∵∴∴
∴
∴
设H（a，-1）∴D（a，0）∴
∴
（II）∵，
∴
∴
由

∴直线EF与抛物线相切．
点评：本题考察了直线与抛物线的位置关系，特别注意当直线与抛物线相切时，可利用导数的几何意义，也可联立通过判别式△解决问题