Question

2．已知α∈（$\frac{3π}{2}$，2π），化简$\sqrt{1-sinα}$+$\sqrt{1+sinα}$．

Answer 1

分析 可令t=$\sqrt{1-sinα}$+$\sqrt{1+sinα}$，两边平方，结合同角的平方关系和二倍角的余弦公式，化简整理，即可得到所求．

解答 解：可令t=$\sqrt{1-sinα}$+$\sqrt{1+sinα}$，
平方可得t²=1-sinα+1+sinα+2$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$
=2+2$\sqrt{co{s}^{2}α}$=2（1+cosα）=4cos²$\frac{α}{2}$，
由α∈（$\frac{3π}{2}$，2π），可得$\frac{α}{2}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），
即有cos$\frac{α}{2}$＜0，
则有t=-2cos$\frac{α}{2}$．
则$\sqrt{1-sinα}$+$\sqrt{1+sinα}$=-2cos$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简，考查二倍角公式的运用和同角的平方关系的运用，属于中档题．