题目内容

设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应，且复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*．常数a∈(
3
2
，3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C1，当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C2，且两条曲线都经过点D（2，
2
），求轨迹C1与C2的方程？
分析：当n为奇数时，原等式可变形为，|β+3|-|β-3|=2a，当n为偶数时，原等式可变形为|β+3|+|β-3|=4a，代入点的坐标后联立两轨迹方程求解a的值，则答案可求．
解答：解：方法1：①当n为奇数时，|β+3|-|β-3|=2a，常数a∈ (
3
2
 ， 3)，
轨迹C1为双曲线，其方程为
x2
a2
-
y2
9-a2
=1；
②当n为偶数时，|β+3|+|β-3|=4a，常数a∈ (
3
2
 ， 3)，
轨迹C2为椭圆，其方程为
x2
4a2
+
y2
4a2-9
=1；
依题意得方程组
4
4a2
+
2
4a2-9
=1
4
a2
-
2
9-a2
=1
⇒
4a4-45a2+99=0
a4-15a2+36=0  
解得a2=3，
因为
3
2
＜a＜3，所以a=
3
，
此时轨迹为C1与C2的方程分别是：
x2
3
-
y2
6
=1，
x2
12
+
y2
3
=1．
方法2：依题意得
|β+3|+|β-3|=4a
|β+3|-|β-3|=2a
⇒
|β+3|=3a
|β-3|=a

轨迹为C1与C2都经过点D(2，
2
)，且点D(2，
2
)对应的复数β=2+
2
i，
代入上式得a=
3
，
即|β+3|-|β-3|=2
3
对应的轨迹C1是双曲线，方程为
x2
3
-
y2
6
=1；
|β+3|+|β-3|=4
3
对应的轨迹C2是椭圆，方程为
x2
12
+
y2
3
=1．
点评：本题考查了轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了方程组的解法，是中档题．
练习册系列答案
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设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*、常数a∈ (
3
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 ， 3)），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点D(2，
2
)，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于
2
3
3
，求实数x0的取值范围．
设复数β=x+yi（x、y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2|，求实数m的值．
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*，a∈(
3
2
，3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C1；当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C2，且两条曲线都经过点D(2，
2
)，求轨迹C1与的C2方程？
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（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x，0）（x＞0）的最小距离不小于，求实数x的取值范围．
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（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x，0）（x＞0）的最小距离不小于，求实数x的取值范围．

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