题目内容
设椭圆
+
=1(a＞b＞0)的上顶点为A，点B、C在椭圆上，且左、右焦点F1，F2分别在等腰三角形ABC两腰AB和AC上．若椭圆的离心率e=
，则原点O是△ABC的（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
分析：通过椭圆的离心率设出c，求出a，b，推出椭圆方程，求出AF2直线方程与椭圆的交点C的坐标，然后求解CO的斜率，AF1的斜率，如果满足斜率乘积为-1，即可判断O为垂心，如果O满足重心坐标公式也可得选项．
解答：解：因为椭圆的离心率e=
，
所以设C=
，则a=3，b=
，
所以椭圆的方程为：
+
=1，
所以A（0，
）
F1（-
，0），F2（
，0），所以AF2的方程为：
+
=1，
联立直线与椭圆方程可得：
，
消去x化简可得：
-
-1=0，解得y=
或y=-
，
所以C（
，-
），则B（-
，-
），
O的坐标（0，0），满足
=0，
=0；
所以O是三角形△ABC的重心．
故选C．
| ||
| 3 |
所以设C=
| 3 |
| 6 |
所以椭圆的方程为：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 6 |
所以A（0，
| 6 |
F1（-
| 3 |
| 3 |
| x | ||
|
| y | ||
|
联立直线与椭圆方程可得：
|
消去x化简可得：
| y2 |
| 3 |
| y | ||
|
| 6 |
| ||
| 2 |
所以C（
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
O的坐标（0，0），满足
| ||||||||
| 3 |
-
| ||||||||||
| 3 |
所以O是三角形△ABC的重心．
故选C．
点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，三角形的重心坐标的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
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设椭圆
+
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、x2+y2=a2 |
| B、x2+y2=b2 |
| C、x2+y2=c2 |
| D、x2+y2=e2 |