Question

2．在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0，a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数．

Answer 1

分析 根据随机变量的分布函数的求法，讨论即可．

解答 解：设F（x）为X的分布函数，F（x）=P{X≤x}．
当x＜0时，F（x）=P（X≤x）=0，
当0≤x≤a时，按题意P（0≤X≤x）=kx，k是某一常数，为了确定k，取x=a，得P（0≤X≤a）=ka．因我们只是在区间[0，a]上投掷质点，
所以（0≤X≤a）为必然事件，即有1=P（0≤X≤a）=ka，因此k=$\frac{1}{a}$，
所以F（x）=P（X≤x）=P（X＜0）+P（0≤X≤x）=$\frac{x}{a}$
当x＞a时，按题意P{X≤x}为必然事件，即有F（x）=1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x＜0}\\{\frac{x}{a}，0≤x≤a}\\{1，x＞a}\end{array}\right.$

点评 本题考查随机变量的分布函数，关键是分类讨论，属于中档题．