题目内容

函数f（x ）=αsin $数学公式$ +bcos $数学公式$ 的一个零点为 $数学公式$ ，且f（ $数学公式$ ）＞f（ $数学公式$ ）＞0，对于下列结论：
①f（ $数学公式$ ）=0；②．f（x） $数学公式$ ；③． $数学公式$ ；
④f（x）的单调减区间是 $数学公式$ ；
⑤f（x）的单调增区间是 $数学公式$ ．
其中正确的有________．（写出所有正确结论的编号）

①②③⑤
分析：利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用周期、零点求出辅助角，画出函数的图象，判断①②③④⑤，即可得到正确选项．
解答：函数f（x ）=asin $\text{[math]}$ +bcos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ）其中tanθ= $\text{[math]}$ ，
因为函数f（x）的周期为4，一个零点为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ +θ=0，θ= $\text{[math]}$ ，所以函数f（x ）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ），f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）＞0，画出图象，

所以①正确；
②． $\text{[math]}$ ，所以f（x） $\text{[math]}$ ；正确．
③ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 正确；
因为 $\text{[math]}$ ，k∈Z，
所以x $\text{[math]}$ 函数不是减函数，④不正确；
因为 $\text{[math]}$ k∈Z，
所以x $\text{[math]}$ 函数是增函数，⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期、单调性的应用，考查计算能力．

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给出下列命题：
①y=x²是幂函数
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个
③(x2+

+2)5展开式的项数是6项
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

sinxdx
⑤若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2
其中真命题的序号是

（写出所有正确命题的编号）．

已知函数f（x）=

，g（x）=aln（x-1），其中n∈N^*，a为常数．
（1）当n=2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的极值；
（2）若对任意的正整数n，当s≥2，x≥2时，f（s）+g（x）≤x-1．求a的取值范围．

以O为原点，

所在直线为x轴，建立直角坐标系．设

=1，点F的坐标为（t，0），t∈[3，+∞）．点G的坐标为（x₀，y₀）．
（1）求x₀关于t的函数x₀=f（t）的表达式，并判断函数f（x）的单调性．
（2）设△OFG的面积S=

t，若O以为中心，F，为焦点的椭圆经过点G，求当|

|取最小值时椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为(0，

)，C，D是椭圆上的两点，

(λ≠1)，求实数λ的取值范围．

（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：

；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-

3	81

3	82

3	83

3	125

，求[S]的值．
（参考数据：80

选作题：考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
A 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（I）证明：△ABE∽△ADC
（II）若△ABC的面积S=

AD•AE，求∠BAC的大小．
B 已知曲线C₁：

（t为参数），C₂：

（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C3：

（t为参数）距离的最小值．
C 已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．