题目内容

15.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=3,直线y=x+2与双曲线交于A,B两点,若OA⊥OB,求双曲线的方程.

分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=3,双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可化为8x2-y2=8a2,把直线与双曲线方程联立消去y,由根与系数关系得到A,B两点横坐标的和与积,进一步纵坐标的积,由OA⊥OB列式求解a的值,即可得出结论.

解答 解:∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=3,
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=9,
∴b2=8a2
∴双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可化为8x2-y2=8a2
直线y=x+2,代入,整理可得7x2-4x-4-8a2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=$\frac{4}{7}$,x1x2=$\frac{-4-8{a}^{2}}{7}$
y1y2=(2+x1)(2+x2)=4+2(x1+x2)+x1x2=$\frac{32-8{a}^{2}}{7}$.
由OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴$\frac{-4-8{a}^{2}}{7}$+$\frac{32-8{a}^{2}}{7}$=0
∴a2=$\frac{7}{4}$,b2=8a2=14.
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{7}{4}}-\frac{{y}^{2}}{14}=1$.

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线的关系问题,常采用“设而不求”的办法,借助于一元二次方程的根与系数关系解决,训练了数量积判断两个向量垂直的关系,考查了学生的计算能力,是中档题.

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