Question

(12分)如图所示，以AB＝4 cm，BC＝3 cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面．当AE＝5 cm，BF＝8 cm，CG＝12 cm时，试回答下列问题：

 

 

 

(1)求DH的长；

(2)求这个几何体的体积；

(3)截面四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)过E作EB₁⊥BF，垂足为B₁，则BB₁＝AE＝5(cm)，

所以B₁F＝8－5＝3(cm)．

因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG.

 

 

 

过H作HC₁⊥CG，垂足为C₁，

则GC₁＝FB₁＝3(cm)，

DH＝12－3＝9(cm)．   -----------------------------------    4分

(2)作ED₁⊥DH，垂足为D₁，B₁P⊥CG，垂足为P，连结D₁P，B₁C₁，则几何体被分割成一个长方体ABCD－EB₁PD₁，一个斜三棱柱EFB₁－HGC₁，一个直三棱柱EHD₁－B₁C₁P.从而几何体的体积为

V＝3×4×5＋×3×4×3＋×3×4×4＝102(cm³)．--------------8分

(3)是菱形．

证明：由(1)知EF∥HG，同理EH∥FG.于是EFGH是平行四边形．

因为EF＝＝

＝5(cm)，

DD₁＝AE＝5(cm)，ED₁＝AD＝3(cm)，

HD₁＝4(cm)，

所以EH＝＝

＝5(cm)．

所以EF＝EH.

故EFGH是菱形．  ------------------------------------------12分

 

【解析】略