Question

（本题满分12分）

如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：见解析；(2) 1:1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化；

（Ⅱ）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式．

解：                                 

(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.

所以PQ⊥平面DCQ.

(2)解：设AB＝a.

由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V₁＝a³.

由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a²，

所以棱锥P－DCQ的体积V₂＝a³.

故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1:1.

考点：本试题主要考查了空间中线面垂直的判定方法，考查学生的转化与化归能力，将线面垂直转化为线线垂直，注意步骤的规范性，考查学生对锥体的体积的计算方法的认识，考查学生的几何计算知识．

点评：解决该试题中一定要注意步骤的规范性以及对于线面垂直的性质定理的灵活运用。