题目内容
（2012•长春一模）已知点A（-1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ|
|•|
|cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求|
|+|
|的值，并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．
| AM |
| BM |
（1）求|
| AM |
| BM |
（2）求△APQ面积的最大值．
分析：（1）设出M的坐标，利用余弦定理及|
|•|
|cos2θ=3，可求得|
|+|
|为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b可求，从而求得椭圆的方程．
（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y1-y2）2的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．
| AM |
| BM |
| AM |
| BM |
（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y1-y2）2的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．
解答：解：（1）由题意，|AM|=|
|，|BM|=|
|
设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|2+|BM2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）2-2|AM|•|BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）2-4|AM|•|BM|cos2θ=4
∵|
|•|
|cos2θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴|
|+|
|=4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
+
=1
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与
+
=1，
消元可得：（3m2+4）y2+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=
×2×|y1-y2|=|y1-y2|
y1+y2=-
，y1y2=-
∴（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=48×
令t=3m2+3，则t≥3，（y1-y2）2=
由于函数y=t+
在[3，+∞）上是增函数，∴t+
≥
故（y1-y2）2≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1
| AM |
| BM |
设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|2+|BM2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）2-2|AM|•|BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）2-4|AM|•|BM|cos2θ=4
∵|
| AM |
| BM |
∴|AM|+|BM|=4
∴|
| AM |
| BM |
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
消元可得：（3m2+4）y2+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=
| 1 |
| 2 |
y1+y2=-
| 6m |
| 3m2+4 |
| 9 |
| 3m2+4 |
∴（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=48×
| 3m2+3 |
| (3m2+4)2 |
令t=3m2+3，则t≥3，（y1-y2）2=
| 48 | ||
t+
|
由于函数y=t+
| 1 |
| t |
| 1 |
| t |
| 10 |
| 3 |
故（y1-y2）2≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1
点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理计算三角形的面积，利用函数的单调性确定最值，综合性强．
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