题目内容

设函数f(x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.
(1)求常数a,b的值;
(2)求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.
(1)a=0,b=-3(2)
 (1)由题意知f′(x)=3x2+2ax+b,

f(1)=-2且f′(1)=0,
,解得a=0,b=-3,
即f(x)=x3-3x.
(2)作出曲线y=x3-3x的草图,所求面积为阴影部分的面积,由x3-3x=0得曲线y=x3-3x与x轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0),而y=x3-3x是R上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.
所以(-,0)的阴影面积与(0, )的阴影面积相等.
所以所求图形的面积为
S=2[0-(x3-3x)]dx
=-2(x4-x2)|=.
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