题目内容
【题目】定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)=,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)首先令代入到恒等式可求出
,再令
得到
,即命题成立;(2)根据题意得到函数
为增函数,将单调性与奇偶性相结合原不等式等价于
,令
,将问题转化为含有参数的一元二次不等式问题,利用分类讨论得结果.
试题解析:(1)证明: (
),①,令
,代入①式,得
,即
,令
,代入①式,得
,又
,则有
,即
对任意
恒成立,所以
是奇函数.
(2) ,即
,又
在
上是单调函数,所以
在
上是增函数.
又由(1)知是奇函数,
,所以
对任意
恒成立,令
,问题等价于
对任意
恒成立,令
,其对称轴
.
当,即
时,
,符合题意;当
时,对任意
,
恒成立
解得
,综上所述,当
时,
对任意
恒成立.
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