题目内容
已知下列命题：
①若
=(3，4)，则
按
=(-2，1)平移后的坐标为（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，则
+
+
=
；
③周长为
+1的直角三角形面积的最大值为
；
④在△ABC中，若
=
=
，则△ABC是等边三角形．
其中正确的序号是（将所有正确的序号全填在横线上）
①若
| AB |
| AB |
| a |
②已知M是△ABC的重心，则
| MA |
| MB |
| MC |
| 0 |
③周长为
| 2 |
| 1 |
| 4 |
④在△ABC中，若
| a | ||
cos
|
| b | ||
cos
|
| c | ||
cos
|
其中正确的序号是（将所有正确的序号全填在横线上）
②③④
②③④
．分析：①据向量的可平移性得到平移后的向量的坐标，
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=
BC，利用三角形法则用向量
和
表示即可．
③因为L=a+b+c，c=
，两次运用均值不等式即可求解；或者利用三角代换，转化为三角函数求最值问题．
④利用正弦定理，求出sin
A=sin
B=sin
C，推出△ABC是等边三角形．
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=
| 2 |
| 3 |
| AB |
| AC |
③因为L=a+b+c，c=
| a2+b2 |
④利用正弦定理，求出sin
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：①∵
=(3，4)
∵向量是可平移的，平移后只改变起点、中的位置，不改变向量的坐标
∴平移后的坐标为（3，4），故错；
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=
BC，
由三角形法则
+
+
=
+
-
+
-
=3
-
-
=3×
-
-
=(
+
)-
-
=
故
+
+
=
正确；
③直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，周长L为
+1，面积为s，
a+b+
=L≥2
+
．
∴
≤
．
∴S=
ab≤
（
）2
=
•[
]2=
L2=
．故正确；
④∵
=
=
由正弦定理
=
=
，得sin
A=sin
B=sin
C，
∴A=B=C⇒a=b=c，则△ABC是等边三角形，正确．
故答案为：②③④．
| AB |
∵向量是可平移的，平移后只改变起点、中的位置，不改变向量的坐标
∴平移后的坐标为（3，4），故错；
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=
| 2 |
| 3 |
由三角形法则
| AM |
| BM |
| CM |
| AM |
| AM |
| AB |
| AM |
| AC |
| AM |
| AB |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| AD |
| AB |
| AC |
=(
| AC |
| AB |
| AB |
| AC |
| 0 |
故
| MA |
| MB |
| MC |
| 0 |
③直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，周长L为
| 2 |
a+b+
| a2+b2 |
| ab |
| 2ab |
∴
| ab |
| L | ||
2+
|
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| L | ||
2+
|
=
| 1 |
| 2 |
(2-
| ||
| 2 |
3-2
| ||
| 4 |
| 1 |
| 4 |
④∵
| a | ||
cos
|
| b | ||
cos
|
| c | ||
cos
|
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴A=B=C⇒a=b=c，则△ABC是等边三角形，正确．
故答案为：②③④．
点评：本题考查向量的性质：向量是可以平移的，平移后与原向量相等；考查向量的三角形法则、平面向量基本定理和向量的表示；考查利用均值不等式解决实际；考查三角函数与正弦定理的应用，考查计算能力逻辑推理能力，常考题型．
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