Question

12．定义在R上的奇函数f（x）为减函数，设a+b≥0，给出下列不等式：
①f（a）•f（-a）≤0；
②f（a）•f（-a）≥0；
③f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）；
④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正确的不等式序号为（　　）

• A． ②③
• B． ①④
• C． ②④
• D． ①③

Answer 1

分析 根据奇函数的性质，可以证明对任意的x，都有f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，由此可得①正确②不正确；再根据奇函数f（x）是定义在R上的减函数，结合a+b≥0，即a≥-b，且函数f（x）为定义在R上的减函数，f（a）≤f（-b），同理可得f（b）≤f（-a）相加即得：f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），从而得到③正确④不正确

解答 解：∵函数f（x）为奇函数
∴对任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x），可得f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，
由此可得①f（a）•f（-a）≤0正确②不正确；
∵a+b≥0，即a≥-b，且函数f（x）为定义在R上的减函数，
∴f（a）≤f（-b），同理可得f（b）≤f（-a）
两式相加，得：f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）．
因此，③正确④不正确．
故选：D．

点评 本题给出抽象函数，在已知单调性和奇偶性的前提下，判断有关不等式是否正确，考查了函数的简单性质及其应用的知识点，属于基础题．