Question

设函数f（x）=lnx-ax+1，其中a为常数．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）求证：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）=lnx-ax+1的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，再结合a的符号，由导数的性质求函数的单调区间．
（2）当a=1，x=1时，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，所以当x＞0时，lnx-x+1≤0，即当x＞0时，lnx≤x-1．由此入手能够证明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)．

解答：解：（1）因为f（x）=lnx-ax+1的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，
①当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

；令f'（x）＜0，解得x＞

1

a

．
故当a＞0时，f（x）的单调递增区间是(0，

1

a

)，单调递减区间是(

1

a

，+∞)．
（2）当a=1时，由（1）知，当x=1时，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，
所以当x＞0时，lnx-x+1≤0，即当x＞0时，lnx≤x-1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1，所以

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，即

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)，
所以

ln2

22

+

ln3

32

++

lnn

n2

≤

1

2

[(1-

1

22

)+(1-

1

32

)++(1-

1

n2

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．