Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）设出两曲线的公共点坐标，求出两曲线方程的导函数，由两曲线在该点处的切线相同，所以把公共点的横坐标分别代入两曲线方程得到纵坐标相同且分别代入到导函数中的函数值也相等，联立消去公共点的横坐标得到a与b的关系式，令b=h（t），自变量t=a，得到一个关于t的函数，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出t的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性得到函数的极大值点，把求得的极大值点代入h（t）中即可求出b的最大值；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）-g（x）中得到F（x）的解析式，求出F′（x），根据对数函数的定义域可知x大于0，由题意可知a大于0，所以分x大于a和x小于a大于0两种情况讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到a为函数的极小值点，把x等于a代入到F（x）中即可求出极小值，且该函数无极大值点．

解答：解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x₀+2a=

3a2

x0

得：x₀²+2ax₀-3a²=0，即（x-a）（x+3a）=0，解得x₀=a或x₀=-3a（舍去）．
即有b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna，
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），则h′（t）=5t-6tlnt-3t=2t（1-3lnt），于是
当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h′（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h′（t）＜0，
故h（t）在（0，e

1

3

）上为增函数，在（e

1

3

，+∞）上为减函数，
则h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e

1

3

）=

5

2

(e

1

3

)2-3(e

1

3

)2lne

1

3

=

3

2

e

2

3

；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2 ax -3a2lnx-b(x＞0)，
则F′（x）=x+2α--

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

（x＞0）．
故F（x）在（0，α）为减函数，在（α，+∞）为增函数，
于是函数F（X）在x=a时有极小值F（α），F（X₀）=f（x₀）-g（x₀）=0无极大值．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调区间并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．