Question

已知函数f（x）=

ax2+bx+c

x+d

（其中a，b，c，d是实数常数，x≠-d）
（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（-1，3）成中心对称，求b，d的值；
（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x₀∈[3，10]，总有f（x₀）∈[3，10]，求c的取值范围；
（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（-2）=-

3

2

，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）恒成立，求负实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函数的对称性类比即可；
（2）分情况讨论f（x）的范围；
（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．

解答：解（1）∵a=0，
∴f(x)=

bx+c

x+d

=b+

c-bd

x+d

．
类比函数y=

k

x

(x≠0)的图象，可知函f（x）的图象的对称中心是（-d，b）．
又∵函f（x）的图象的对称中心（-1，3），∴

b=3 d=1

．
（2）由（1）知，f(x)=3+

c-3

x+1

．
依据题意，对任x₀∈[3，10]，恒f（x₀）∈[3，10]．
①c=3，f（x）=3，符合题意．
②c≠3，c＜3时，对任x∈[3，10]，恒f(x)=3+

c-3

x+1

＜3，不符合题意．
所c＞3，函f(x)=3+

c-3

x+1

[3，10]上是单调递减函数，且满f（x）＞3．
因此，当且仅f（3）≤10，
即3＜c≤31时符合题意．                           　
综上，所求实c的范围3≤c≤31．
（3）依据题设，

f(x)+f(-x)=0 f(1)=0 f(-2)=- 3 2

解

a=1 c=-1 d=0

于是f(x)=x-

1

x

．
由

f(mx)+mf(x)＜0 m＜0 x≥1

，得2mx-

1

mx

-

m

x

＜0，
∴（2x²-1）m²＞1
∵m＜0
∴m＜-

1

2x2-1

．
因此，m＜(-

1

2x2-1

)min．
∵函数y=--

1

2x2-1

(x≥1)在[1，+∞）是增函数，
∴y_min=y（1）=-1．
∴所求负实数m的取值范围m＜-1．
故答案为m＜-1．

点评：本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解