Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=a[2-(

1

2

)n-1]-b[2-(n+1)(

1

2

)n-1](n=1，2，…)，其中a、b是非零常数，则存在数列{x_n}、{y_n}使得（　　）

• A、a_n=x_n+y_n，其中{x_n}为等差数列，{y_n}为等比数列
• B、a_n=x_n+y_n，其中{x_n}和{y_n}都为等差数列
• C、a_n=x_n•y_n，其中{x_n}为等差数列，{y_n}都为等比数列
• D、a_n=x_n•y_n，其中{x_n}和{y_n}都为等比数列

Answer 1

分析：由题意知a_n=S_n-S_n-1=a[2-（

1

2

）^n-1]-b[2-（n+1）（

1

2

）^n-1]-a[2-（

1

2

）^n-2]+b[2-n（

1

2

）^n-2]=a（

1

2

）^n-1+b[（

1

2

）^n-1-n（

1

2

）^n-1]=[a-（n-1）b]（

1

2

）^n-1．即可得答案．

解答：解：当n=1时，a₁=S₁=a，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=a[2-（

1

2

）^n-1]-b[2-（n+1）（

1

2

）^n-1]-a[2-（

1

2

）^n-2]+b[2-n（

1

2

）^n-2]
=a（

1

2

）^n-1+b[（

1

2

）^n-1-n（

1

2

）^n-1]
=[a-（n-1）b]（

1

2

）^n-1，
∴a_n=[a-（n-1）b]（

1

2

）^n-1（n∈N^*）
故选C．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．