题目内容

(1)椭圆C:=1(a>b> 0)与x轴交于两点A、B,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:·为定值b2-a2.

(2)由(1)类比可得如下命题:双曲线C:=1(a>0,b>0)与x轴交于两点A、B,点P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,则·为定值.请写出这个定值(不要求给出解题过程).

(1)证明:设点P(x0,y0),x0≠±a.依题意,得A(-a,0),B(a,0).

∴直线PA的方程为y=(x+a).

令x=0,得ym=.

同理得yn=.

∴ymyn=.∵点P(x0,y0)是椭圆C上一点,∴+=1.

∴y02=(a2-x02).∴ymyn==b2.

=(a,yn),=(-a,ym),∴·=-a2+ymyn=b2-a2.

(2)-(a2+b2).

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