题目内容

（1）椭圆C:=1(a＞b＞ 0)与x轴交于两点A、B，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2-a2.

（2）由（1）类比可得如下命题：双曲线C:=1(a＞0,b＞0)与x轴交于两点A、B，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，则·为定值.请写出这个定值（不要求给出解题过程）.

(1)证明:设点P(x0,y0),x0≠±a.依题意,得A(-a,0),B(a,0).

∴直线PA的方程为y=(x+a).

令x=0,得ym=.

同理得yn=.

∴ymyn=.∵点P(x0,y0)是椭圆C上一点,∴+=1.

∴y02=(a2-x02).∴ymyn==b2.

∵=(a,yn),=(-a,ym),∴·=-a2+ymyn=b2-a2.

(2)-(a2+b2).

练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，且倾斜角为60°的直线l过点(0，-2
3
)和椭圆C的右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若已知D（3，0），点M，N是椭圆C上不重合的两点，且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围．
（2012•乐山二模）如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a2上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L交y轴于点M，
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，当M变化时，求λ1+λ2的值．
（2012•泉州模拟）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆Γ：
x2
8
+
y2
4
=1相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线y=
1
4
x2的焦点．
（Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．
（2011•通州区一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
1
2
，右焦点为F（1，0）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）求经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程；
（III）设P为椭圆C上一动点，以PF为直径的动圆内切于一个定圆E．求定圆E的方程．

若给定椭圆C：ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和点N(x0,y0)，则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”，

   (1)若N(x0,y0)在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交)，并说明理由；

   (2)命题：“若点N(x0,y0)在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交.”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；

   (3)若N(x0,y0)在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点(异于A、B)，设，，问是否为定值？说明理由.

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