Question

（2012•泉州模拟）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆Γ：

x2

8

+

y2

4

=1相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线y=

1

4

x2的焦点．
（Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出椭圆的离心率，抛物线的焦点坐标，设椭圆C的方程，即可求得椭圆的几何量，从而可求椭圆C的标准方；
（Ⅱ）解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆．联立椭圆C和直线l的方程，利用韦达定理，根据弦AB的中点与弦HK的中点重合，建立方程，从而可得椭圆E的离心率，即可得到结论；
解法二：设椭圆E的方程，根据A，B在椭圆C上，设点的坐标，代入两式相减并恒等变形得斜率，同理由H，K在椭圆E上，得斜率，利用弦AB的中点与弦HK的中点重合，建立方程，从而可得椭圆E的离心率，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆Γ：

x2

8

+

y2

4

=1的离心率为

2

2

，抛物线y=

1

4

x2的焦点为（0，1）．…（2分）
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意，得：

e= c a = 2 2 b=1 a2=b2+c2

，解得

a= 2 b=1

，
∴椭圆C的标准方程为 

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆．…（6分）
联立椭圆C和直线l的方程，

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+t

，消去y，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，…（7分）
设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，则x1+x2=-

4kt

1+2k2

．…（8分）
设椭圆E的方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞0，n＞0，m≠n)，…（9分）
联立方程组

x2 m2 + y2 n2 =1 y=kx+t

，消去y，得（n²+m²k²）x²+2ktm²x+m²（t²-n²）=0，
设H，K的横坐标分别为x₃，x₄，则x3+x4=-

2ktm2

n2+m2k2

．…（10分）
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，…（11分）
∴x₁+x₂=x₃+x₄，∴-

4kt

1+2k2

=-

2ktm2

n2+m2k2

，
∵k≠0，t≠0，∴化简得m²=2n²，…（12分）
求得椭圆E的离心率e=

m2-n2

m

=

n

2 n

=

2

2

，…（13分）
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．
解法二：设椭圆E的方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞0，n＞0，m≠n)，并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）．
∵A，B在椭圆C上，
∴

x

2 1

+2

y

2 1

=8且

x

2 2

+2

y

2 2

=8，两式相减并恒等变形得k=-2×

x1+x2

y1+y2

．…（8分）
由H，K在椭圆E上，仿前述方法可得k=-

m2

n2

x3+x4

y3+y4

．…（11分）
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，∴m²=2n²，…（12分）
求得椭圆E的离心率e=

m2-n2

m

=

n

2 n

=

2

2

，…（13分）
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．