题目内容
已知a是实数,函数f(x)=
ax3+x2-(a+5)x,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,求a的取值范围.
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分析:由f(x)=
ax3+x2-(a+5)x,知f′(x)=4ax2+2x-(a+5),由函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,知f′(x)=4ax2+2x-(a+5)在[-1,1]内存在零点,由此进行分类讨论,能够求出实数a的取值范围.
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解答:解:∵f(x)=
ax3+x2-(a+5)x,
∴f′(x)=4ax2+2x-(a+5),
∵函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,
∴f′(x)=4ax2+2x-(a+5)在[-1,1]内存在零点,
①当a=0时,f′(x)=2x-5 显然不成立;
②存在一个零点,则f′(-1)•f′(1)<0,
∴(4a-2-a-5)(4a+2-a-5)<0,
即(3a-7)(3a-3)<0,
解得1<a<
.
③存在两个零点,
当a>0时,
则需满足:
,
解得a>
.
当a<0时,
则需满足:
,
解得a<-
-
,或-
+
<a<0.
综上所述,a的取值范围是(-∞,-
-
)∪(-
+
,0)∪(
,+∞).
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∴f′(x)=4ax2+2x-(a+5),
∵函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,
∴f′(x)=4ax2+2x-(a+5)在[-1,1]内存在零点,
①当a=0时,f′(x)=2x-5 显然不成立;
②存在一个零点,则f′(-1)•f′(1)<0,
∴(4a-2-a-5)(4a+2-a-5)<0,
即(3a-7)(3a-3)<0,
解得1<a<
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③存在两个零点,
当a>0时,
则需满足:
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解得a>
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当a<0时,
则需满足:
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解得a<-
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综上所述,a的取值范围是(-∞,-
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点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查解不等式,解题时要注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用.

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