题目内容

已知a是实数,函数f(x)=
43
ax3+x2-(a+5)x
,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,求a的取值范围.
分析:f(x)=
4
3
ax3+x2-(a+5)x
,知f′(x)=4ax2+2x-(a+5),由函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,知f′(x)=4ax2+2x-(a+5)在[-1,1]内存在零点,由此进行分类讨论,能够求出实数a的取值范围.
解答:解:∵f(x)=
4
3
ax3+x2-(a+5)x

∴f′(x)=4ax2+2x-(a+5),
∵函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,
∴f′(x)=4ax2+2x-(a+5)在[-1,1]内存在零点,
①当a=0时,f′(x)=2x-5 显然不成立;
②存在一个零点,则f′(-1)•f′(1)<0,
∴(4a-2-a-5)(4a+2-a-5)<0,
即(3a-7)(3a-3)<0,
解得1<a<
7
3

③存在两个零点,
当a>0时,
则需满足:
△=4+16a(a+5)>0
f(-1)=4a-2-(a+5)≥0
f(1)=4a+2-(a+5)≥0
-1<-
1
4a
<1

解得a>
7
3

当a<0时,
则需满足:
△=4+16a(a+5)>0
f(-1)=4a-2-(a+5)≤0
f(1)=4a+2-(a+5)≤0
-1<-
1
4a
<1

解得a<-
5
2
-
6
,或-
5
2
+
6
<a<0.
综上所述,a的取值范围是(-∞,-
5
2
-
6
)∪(-
5
2
+
6
,0)∪(
7
3
,+∞
).
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查解不等式,解题时要注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用.
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