Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a
（1）若f（x）≤0在R上恒成立，求a的取值范围．
（2）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）讨论a 是否为0，当a≠0时，利用二次函数恒小于0，即开口向下，△＜0即可解决；
（2）讨论a 是否为0，当a≠0时，考虑△=0的情况以及在[-1，1]上具有单调性用零点定理解决．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=2x-3≤0在R上不可能恒成立，不合题意，∴a≠0（2分）
当a≠0时，必需

2a＜0 △=4+8a(a+3)≤0

，解得

-3- 7

2

≤a≤

-3+ 7

2

（5分）
综上，a的取值范围为[

-3- 7

2

，

-3+ 7

2

]（6分）
（2）①当a=0时，f（x）=2x-3，显然在[-1，1]上没有零点，所以a≠0．（8分）
②当a≠0时，1°△=4+8a（3+a）=8a²+24a+4=0且-

2

2×2a

∈[-1，1]，解得a=

-3- 7

2

（11分）
    2°f（-1）•f（1）=（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5（13分）
综上，a的取值范围为[1，5]∪{

-3- 7

2

}（14分）

点评：本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．