题目内容
已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．
分析：（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f'（1）=3，写出切线方程即可；
（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．
（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．
解答：解：（I）f'（x）=3x2-2ax．因为f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=
．
当
≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmax=f（2）=8-4a．
当
≥2时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmax=f（0）=0．
当0＜
＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，
]上单调递减，在[
，2]上单调递增，从而fmax=
综上所述，fmax=
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=
| 2a |
| 3 |
当
| 2a |
| 3 |
当
| 2a |
| 3 |
当0＜
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
|
综上所述，fmax=
|
点评：本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
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