题目内容

设A、B两点坐标分别为(1,0)、(-1,0),若kMA·kMB=-1,求动点M的轨迹方程.

解:设M的坐标为(x,y),M属于集合P={M|kMA·kMB=-1}.由斜率公式,点M所适合的条件可表示为-1·=-1(x≠±1),整理,得x2+y2=11x≠±1).下面证明x2+y2=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.

(1)由求方程的过程,可知M的坐标都是方程x2+y2=1(x≠±1)的解;

(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程x2+y2=1(x≠±1)的解,

即x12+y12=1(x1≠±1),y12=1-x12(x1≠±1),-1·=-1,

∴k·k=-1.

由上述证明,可知方程x2+y2=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.

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