题目内容

12．设0＜x1＜x2，a=$\frac{ln（1+{x}_{1}）}{{x}_{1}}$，b=$\frac{ln（1+{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，则a、b的大小关系为a＞b．

分析 令f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：令f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），
则f′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{{x}^{2}（1+x）}$，
令g（x）=x-（1+x）ln（1+x）（x＞0），
∴g′（x）=1-ln（1+x）-1=-ln（1+x）＜0，
∴函数g（x）在x＞0时单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在x＞0时单调递减，
∵0＜x1＜x2，a=$\frac{ln（1+{x}_{1}）}{{x}_{1}}$，b=$\frac{ln（1+{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性比较两个数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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