Question

已知：O为坐标原点，点F、T、M、P₁满足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

p1M

⊥

FT

，

p1M

⊥

FT

，

P1T

∥

OF

．
（1）当t变化时，求点P₁的轨迹C；
（2）若P₂是轨迹C上不同于P₁的另一点，且存在非零实数λ，使得

FP1

=λ•

FP2

，求证：

1

| FP1 |

+

1

| FP2 |

=1．

Answer 1

分析：（1）设P1（x，y），根据题设的条件建立关于点P₁的坐标x，y的等式．
（2）设过P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂） 两点的直线P₁P₂的方程为：y=k（x-1）代入y²=4x得到关于x的一元二次方程，利用根系关系得到x的一元二次方程，利用根系关系得到两根之和与两根之差．解出两线段长度的倒数和，解得其值为定值．

解答：解：（1）设P₁（x，y），则由：

FM

=

MT

得M是线段FT的中点，得M（0，

1

2

）
∴

P1M

=（-x，

1

2

-y）
又∵

FT

=

OT

 -

OF

=（-2，t），

P1T

=（-1-x，t-y）
∵

P1M

⊥

FT

∴2x+t（

t

2

-y）=0  ①
∵

P1T

_∥

OF

∴（-1-x）•0+（t-y）•1=0化简得：t=y  ②
由①、②得：y²=4x
这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解．）
（2）易知F（1，0）是抛物线y²=4x的焦点，由

FP1

=λ•

FP2

，
得（x₁，y₁），P₂（x₂
设过P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂） 两点的直线P₁P₂的方程为：y=k（x-1）代入y²=4x
得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
则x₁x₂=1，x₁+x₂=

2k2+4

k2

∴

1

|FP1|

+

1

FP2

₌

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+1

x1x2+(x1+x2)+1

=1．

点评：考查用参数法求轨迹方程与直线与圆的位置关系，本题两个题运算量都较大，解题过程较长，要严谨做题．