Question

已知点O为坐标原点，圆C过点（1，1），（-2，4）且圆心在y轴．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）如果过点P（1，0）的直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|=2

3

，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出（1，1）与（-2，4）确定直线的方程斜率，以及线段中点坐标，求出线段垂直平分线方程与y轴交点即为圆心C坐标，进而确定出半径，写出圆C的标准方程即可；
（Ⅱ）设过P直线方程为y=k（x-1），利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线的距离d，根据弦长，利用垂径定理及勾股定理列出方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l方程．

解答：解：（Ⅰ）过（1，1），（-2，4）的直线方程的斜率为

4-1

-2-1

=-1，线段中点坐标为（-

1

2

，

5

2

），
∴线段垂直平分线方程为y-

5

2

=x+

1

2

，
令x=0，得到y=3，即圆心C（0，3），
∴半径r=

(1-0)2+(1-3)2

=

5

，
则圆C的标准方程为x²+（y-3）²=5；
（Ⅱ）设过P直线方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵圆心C到直线的距离d=

|-3-k|

k2+1

，|AB|=2

3

，
∴|AB|=2

r2-d2

，即5-

(k+3)2

k2+1

=3，
解得：k=7或k=-1，
则直线l方程为7x-y-7=0或x+y-1=0．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的点斜式方程，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．