Question

已知点O为坐标原点，⊙C过点（1，1）和点（-2，4），且圆心在y轴上．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）若过点P（1，0）的直线l与⊙C有公共点，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于圆心在y轴上，可设⊙C的标准方程为x²+（y-b）²=r²．由于⊙C过点（1，1）和点（-2，4），代入可得

1+(1-b)2=r2 (-2)2+(4-b)2=r2

，解出即可；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），由于过点P（1，0）的直线l与⊙C有公共点，可得圆心C到直线的距离d≤r．利用点到直线的距离公式求出d，解出即可．

解答：解：（1）∵圆心在y轴上，∴可设⊙C的标准方程为x²+（y-b）²=r²．
∵⊙C过点（1，1）和点（-2，4），∴

1+(1-b)2=r2 (-2)2+(4-b)2=r2

，
解得

b=3 r2=5

．
∴⊙C的标准方程为x²+（y-3）²=5．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），
∵过点P（1，0）的直线l与⊙C有公共点，
∴圆心C到直线的距离d≤r．
∴

|-3-k|

1+k2

≤

5

，化为2k²-3k-2≥0，
解得k≥2或k≤-

1

2

．
故直线l斜率的取值范围是(-∞，-

1

2

]∪[2，+∞)．

点评：本题考查了圆的标准方程及其性质、直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的关系、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．