题目内容

1.设所有方程可以写成(x-1)sinα-(y-2)cosα=1(α∈[0,2π])的直线l组成的集合记为L,则下列说法正确的是②③④;
①直线l的倾斜角为α;
②存在定点A,使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值;
③存在定圆C,使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交;
④任意l1∈L,必存在唯一l2∈L,使得l1∥l2
⑤任意l1∈L,必存在唯一l2∈L,使得l1⊥l2

分析 由倾斜角范围与α的范围是否一致,能判断①的正误;由圆(x-1)2+(y-2)2=1的切线系能判断②的正误;由存在定圆C,使得任意l∈L,都有直线l与圆C相交,能判断③的正误;由数形结合能判断④和⑤的正误.

解答 解:对于①:倾斜角范围与α的范围不一致,故①错误;
对于②:(x-1)sinα-(y-2)cosα=1,(α∈[0,2π)),
可以认为是圆(x-1)2+(y-2)2=1的切线系,故②正确;
对于③:存在定圆C,使得任意l∈L,都有直线l与圆C相交,
如圆C:(x-1)2+(y-2)2=100,故③正确;
对于④:任意l1∈L,必存在唯一l2∈L,使得l1∥l2,作图知④正确;
对于⑤:任意意l1∈L,必存在两条l2∈L,使得l1⊥l2,画图知⑤错误.
故答案为:②③④.

点评 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用.

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