Question

7．方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1的图象表示曲线C，则以下命题中
甲：曲线C为椭圆，则1＜t＜4；      乙：若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜1；
丙：曲线C不可能是圆；            丁：曲线C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜$\frac{5}{2}$．
正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1，利用椭圆、双曲线、圆的定义，即可得出结论．

解答 解：方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲线C，以下命题：
若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解得1＜t＜4且t≠$\frac{5}{2}$，则曲线C为椭圆，因此不正确；
若曲线C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解得t＜1或t＞4，正确；
当4-t=t-1＞0，即t=$\frac{5}{2}$时，曲线C表示圆，因此不正确；
若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜$\frac{5}{2}$，正确．
故选：B．

点评 本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．