题目内容

若x1，x2∈R，x1≠x2，则下列性质对函数f（x）=2x成立的是
 
．（把满足条件的序号全部写在横线上）
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
③[f（x1）-f（x2）]•（x1-x2）＞0④f(x1)+f(x2)＞2f(
x1+x22
)．
分析：①由幂的运算法则计算两端，验证是否相等．
②将两端化简，验证是否相等．
③利用函数的单调性去判定
④将已知变形为
f(x1)+f(x2) 
2
＞f(
x1+x2
2
)再去判断．
解答：解：①f（x1+x2）=2x1+x2=2x1×2x2=f（x1）•f（x2）①对
②f（x1•x2）=2x1•x2，f（x1）+f（x2）=2x1+2x2，f（x1•x2）≠f（x1）+f（x2）②错
③f（x）在定义域R上是增函数，对于任意的两不等实数x1，x2，若x1＞x2 则f（x1）＞f（x2），若x1＜x2 则f（x1）＜f（x2），总之必有[f（x1）-f（x2）]•（x1-x2）＞0．③对
④如图A，B为函数图象上任意不同两点，M为线段AB的中点，过M且与x轴垂直的直线与图象交与点P．各点坐标如图所示．精英家教网
由图可知
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)，两边同时乘以2，即知④对．
故答案为：①③④．
点评：本题考查指数函数的图象、单调性、指数幂的运算等知识，数形结合的思想方法，分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
-x2+2ax， x≤1
ax+1，  x＞1
，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是
（-∞，1）∪（2，+∞）
（-∞，1）∪（2，+∞）
．
已知f（x）=sin
x
4
+cos
x
4
，若?x1，x2∈R，使得对?x∈R，f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1-x2|的最小值是（　　）
已知f（x）=xex，g（x）=-（x+1）2+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是
a≥-
1
e
a≥-
1
e
．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a≠c且f（1）=0，证明：方程f（x）=0有两个不同实数根；
（2）证明：若x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），则方程f(x)-
f(x 1)+f(x 2)2
=0必有一实根在区间 （x1，x2）内．
已知f（x）=-ax（0＜a＜1），若x1，x2∈R且x1≠x2，则（　　）
A、f(
x1+x2
2
)=
f(x1)+f(x2)
2
B、f(
x1+x2
2
)＞
f(x1)+f(x2)
2
C、f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
D、f(
x1+x2
2
)与
f(x1)+f(x2)
2
的大小不确定

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