题目内容

已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是
a≥-
1
e
a≥-
1
e
分析:?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,等价于f(x)min≤g(x)max,利用导数可求得f(x)的最小值,根据二次函数的性质可求得g(x)的最大值,代入上述不等式即可求得答案.
解答:解:?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,等价于f(x)min≤g(x)max
f′(x)=ex+xex=(1+x)ex
当x<-1时,f′(x)<0,f(x)递减,当x>-1时,f′(x)>0,f(x)递增,
所以当x=-1时,f(x)取得最小值f(x)min=f(-1)=-
1
e

当x=-1时g(x)取得最大值为g(x)max=g(-1)=a,
所以-
1
e
≤a,即实数a的取值范围是a≥-
1
e

故答案为:a≥-
1
e
点评:本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值,考查“能成立”问题的处理方法,解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决.
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