题目内容

7.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2x},x≤-1}\\{2x+2,x>-1}\end{array}\right.$,则f[f(-2)]=34,不等式f(x)≥2的解集为(-∞,-1]∪[0,+∞).

分析 利用分段函数的解析式,求出f[f(-2)]的值;把要解的不等式转化为与之等价的2个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.

解答 解:根据函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2x},x≤-1}\\{2x+2,x>-1}\end{array}\right.$,可得f(-2)=24=16,
则f[f(-2)]=f(16)=2×16+2=34.
由不等式f(x)≥2,可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{{2}^{-2x}≥2}\end{array}\right.$ ①或$\left\{\begin{array}{l}{x>-1}\\{2x+2≥2}\end{array}\right.$②.
解①求得 x≤-1,解②求得 x≥0,故不等式的解集为(-∞,-1]∪[0,+∞),
故答案为:34;(-∞,-1]∪[0,+∞).

点评 本题主要考查利用分段函数求函数的值,不等式的解法,体现了分类讨论、转化的数学思想,属于基础题.

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